
\section{微分中值定理}
\label{sec:differential-mean-value-theorems}

\subsection{拉格朗日中值定理与柯西中值定理}
\label{sec:lagrange-and-cauchy-mean-value-theorem}

\begin{theorem}[费马(Fermat)极值定理]
  \label{theorem:derivative-at-extreme-value-is-0}
  如果函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值或者极小值，且该点处可导，则必有$f'(x_0)=0$.
\end{theorem}

\begin{proof}[证明]
  假定在$x_0$处取得极大值，那么必存在$x_0$的某邻域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$，使得任意$x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)$有$f(x) \leqslant f(x_0)$，于是当$x \in (x_0-\delta, x_0)$时，成立
  \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geqslant 0 \]
  而在$x \in (x_0,x_0+\delta)$时，则成立
  \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leqslant 0 \]
  于是分别就有
  \[ f'(x_0-0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geqslant 0 \]
  和
  \[ f'(x_0+0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leqslant 0 \]
  但由$f'(x_0)$是存在的，所以只能$f'(x_0)=0$，极小值的情况也是类似的。
\end{proof}

\begin{theorem}[罗尔(Rolle)中值定理]
  如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内连续，在开区间$(a,b)$内可导，并且$f(a)=f(b)$，则存在$ \xi \in (a,b)$使得$f'(\xi)=0$.
\end{theorem}

\begin{proof}[证明]
  由连续函数性质,闭区间上的连续函数存在最大值和最小值，我们来证明在开区间上必然能够取到这两个最值中的至少一个，然后由\autoref{theorem:derivative-at-extreme-value-is-0}便能得出结论。

  由条件，$f(a)=f(b)=K$，设函数$f(x)$在闭区间上的最大值和最小值分别是$M$和$m$，如果$M=m=K$，那么开区间上任何一点处都是极值，结论是成立的，在$M \neq m$时，两者中至少有一个不等于$K$，假定$M \neq K$，那么这最大值$M$就只能在开区间上某点处取得，而根据\autoref{theorem:derivative-at-extreme-value-is-0}，该点处导数为零，如果是$m \neq K$，同理可证。
\end{proof}

\begin{theorem}[拉格朗日(Lagrange)中值定理]
  如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则存在$\xi \in (a,b)$使得
  \[ f'(\xi) = \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \]
\end{theorem}

\begin{proof}[证明]
  显然这是罗尔定理的推广，设法让它符合罗尔定理中两个端点的函数值相等的条件，于是让它减去连接首尾两个端点的一次函数，这个一次函数是
  \[ l(x) = f(a) + \frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-a) \]
  作函数$g(x)=f(x)-l(x)$，则显然$g(x)$仍然在闭区间上连续开区间上可导，并且这时$g(a)=g(b)=0$，所以根据罗尔定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得$g'(\xi)=0$，于是
  \[ f'(\xi) = \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \]
\end{proof}

\begin{theorem}[柯西(Cauchy)中值定理]
  如果函数$f(x)$和函数$g(x)$都在闭区间$[a,b]$上连续且在开区间$(a,b)$内可导，并且$g(b) \neq g(a)$，同时导函数$f'(x)$和$g'(x)$不同时取零值，那么存在$\xi \in (a,b)$，使得
  \[ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} \]
\end{theorem}

\begin{proof}[证明]
  作辅助函数
  \[ h(x) = f(x)-f(a)-\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}(g(x)-g(a)) \]
  显见$h(x)$满足罗尔中值定理的条件，因此存在$\xi \in (a,b)$，使得$h'(\xi)=0$，于是
  \[ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} \]
\end{proof}

柯西中值定理实际上就是把拉格朗日中值定理应用到了用参数方程$x=f(t),y=g(t)$表示的曲线上。

\subsection{洛必达法则}
\label{sec:Hospital-limit-rule}

\subsection{泰勒公式}
\label{sec:taylor-theorem}

\begin{theorem}
  设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，而且在$x_0$处存在直到$n$阶的导数，若记
  \[ T_n(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots
    + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]
  则有
  \[ f(x) = T_n(x) + o(x-x_0)^n \]
\end{theorem}

\begin{proof}[证明]
  只需要证明
  \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - T_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0 \]
  即可，这只要连续使用$n$次洛必达法则就能办到。
\end{proof}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "../../calculus-note"
%%% End:
